Soma Dos N Primeiros Números Naturais ao Quadrado

Lembrando do produto notável:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Façamos com $a=k$ e $b=1$

$$(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$$

Dando valores para $k$

$$ 2^3 = 1^3+3\cdot 1^2 +3\cdot 1 +1$$

$$ 3^3 = 2^3+3\cdot 2^2 +3\cdot 2 +1$$

$$ 4^3 = 3^3+3\cdot 3^2 +3\cdot 3 +1$$

$$ 5^3 = 4^3+3\cdot 4^2 +3\cdot 4 +1$$

$$ 6^3 = 5^3+3\cdot 5^2 +3\cdot 5 +1$$

$$\vdots$$

$$ n^3 = (n-1)^3+3\cdot (n-1)^2 +3\cdot (n-1) +1$$

$$ (n+1)^3 = n^3+3\cdot n^2 +3\cdot n +1$$

Somando todos esses termos, temos:

$$ \cancel{2^3} = 1^3+3\cdot 1^2 +3\cdot 1 +1$$

$$ \cancel{3^3} = \cancel{2^3}+3\cdot 2^2 +3\cdot 2 +1$$

$$ \cancel{4^3} = \cancel{3^3}+3\cdot 3^2 +3\cdot 3 +1$$

$$ \cancel{5^3} = \cancel{4^3} +3\cdot 4^2 +3\cdot 4 +1$$

$$ \cancel{6^3} = \cancel{5^3} +3\cdot 5^2 +3\cdot 5 +1$$

$$\vdots$$

$$ \cancel{n^3} = \cancel{(n-1)^3} +3\cdot (n-1)^2 +3\cdot (n-1) +1$$

$$ (n+1)^3 = \cancel{n^3} +3\cdot n^2 +3\cdot n +1$$

Para simplificar fazemos:

$$S_q=1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$$

Usando a soma dos n números naturais:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2} = 1+2+3+\dots+n $$

Logo

$$(n+1)^3=3 S_q+3\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$

Multiplicando por $2$ em ambos os lados:

$$2(n+1)^3=6 S_q+3 n(n+1)+2(n+1)$$

Isolando o $6 S_q$:

$$6 S_q=2(n+1)^3 - 3n(n+1)-2(n+1)$$

Colocando em evidência $(n+1)$ no lado direito da equação:

$$6S_q=(n+1) \left[2\cdot(n+1)^2 - 2-3n \right]$$

Lembrando do produto notável:

$$(n+1)^2=n^2+2n+1$$

Temos:

$$6S_q=(n+1) [2(n^2+2n+1) - 2-3n] $$

$$6S_q=(n+1)[2n^2+4n+2 - 2-3n]$$

$$6S_q=(n+1)[2n^2+4n+\cancel{2} - \cancel{2}-3n]$$

Com isso temos:

$$6 S_q=(n+1) \left(2n^2+4n-3n \right)$$

$$6 S_q=(n+1) \left(2n^2+n \right)$$

$$6 S_q=(n+1) n(2n+1)$$

Logo a soma dos $n$ primeiros números naturais ao quadrado:

$$S_q=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$$